Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, Grüß Gott zusammen. Die letzte Vorlesung ist endlich da und ich glaube, wir werden es auch

schaffen, den Stoff in angemessener Art und Weise abzuschließen. Wir sind bei der Frage

der numerischen Integration, haben die zusammengesetzte Trapezregel kennengelernt. Hier steht sie noch mal,

das ist eine, wie wir gesehen haben, was ist denn jetzt los, eine recht gute Approximationsregel in

dem Sinn, dass sie in der Schrittweite h, also in der Unterteilungslänge des Intervalls,

quadratische Ordnung liefert, wenn die Funktion hinreichend glatt ist. Das ist nicht super gut,

ist aber auch nicht schlecht. Man kann mit dieser Approximationsregel im Normalfall recht gut leben.

Man kann aber auch mehr wollen und das kann man auf der Basis der zusammengesetzten Trapezregel

auch durchaus erreichen, weil es hier viel mehr gilt, als was ich gerade zitiert habe. Was ich

gerade zitiert habe, ist eine Fehlerabschätzung. Wir wissen eben, dass der Fehler, der Abstand,

das sind hier nur Zahlen zwischen dem exakten Integral und dem, was die Quadraturformel liefert,

sich eben abschätzen lässt durch eine Konstante, wo im Wesentlichen die zweite Ableitung der zu

integrierenden Funktion eingeht in ihrer Maximumsnorm und mal h². Das ist eben die

quadratische Konvergänzordnung. Wir sehen also, dass der größte Fehlerterm vom Typus h² ist.

Wir wissen aber nicht, wenn wir sozusagen aus dem Fehler diesen Fehlerterm entfernen,

wie es dann sozusagen weitergeht. Ob es dann wie sozusagen die kleineren Fehlerterme aussehen,

mit welcher Potenz sie in h folgen, ob das dann nur ganz wenig sich von h² unterscheidet oder ob

h⁴ der nächste Term ist und all das, diese Aussage, steckt in einer Fehlerentwicklung drin,

wie sie die Euler-McLaurinsche-Summenformel macht. Die sagt nämlich genau das alles aus,

natürlich unter entsprechenden Glattheitsvoraussetzungen an die Funktion. Wenn ich

die Funktion 2m mal stetig differenzieren kann, dann sagt die Euler-McLaurinsche-Summenformel aus,

ich habe eine Fehlerdarstellung. Hier steht das exakte Integral, hier die zusammengesetzte

Trapezregel und der Fehler lässt sich schreiben als ein Term h², wobei wir jetzt auch genauer wissen,

wie sozusagen der Koeffizient aussieht, plus ein Term h⁴ und so weiter bis schließlich h²m.

Und das ist genau, diese Darstellung ist genau bis auf einen Fehler der Ordnung gros o von h²m.

Wobei die Koeffizienten hier exakt angegeben werden können, wobei das, wie wir gleich sehen

werden, für die Verwendung einer solchen Fehlerentwicklung gar nicht notwendig ist,

diese Koeffizienten exakt zu kennen. Man muss eben nur etwas über ihre Existenzwissen,

um das ausnutzen zu können. Also hier sind die Koeffizienten recht konkret,

sie sind gegeben über entsprechende Ableitungsdifferenzen der Funktion an den

Intervallgrenzen. Man sieht also auch, dass die zusammengesetzte Trapezregel dann besonders gut

sein wird, wenn die Funktion periodisch ist. Und hier in dem Vorfaktor haben wir etwas,

was die sogenannten Bernoulli-Zahlen sind, das sind Auswertungen der Bernoulli-Polynome,

die ich letztes Mal angesprochen habe, aber wie gesagt, da die reine Existenz einer solchen

Fehlerentwicklung schon weiterhilft, müssen wir uns das nicht genauer anschauen.

Ja, wie kann man jetzt so eine Fehlerentwicklung ausnutzen? Das ist also alles über Bernoulli-Polynome.

Das Stichwort ist Extrapolation als genereller Ansatz und dann angewendet auf die zusammengesetzte

Trapezregel heißt das entstehende Verfahren dann das Romberg-Verfahren. Gut, schauen wir uns mal

die Situation an. Erstmal mit einer einfachen Fehlerentwicklung. Nehmen wir mal an, wir haben

eine, wir wollen eine Größe aus, wir haben ein Ernährungsverfahren im Diskretisierungsparameter

H, das konvergent ist, das heißt also eigentlich interessieren wir uns für den Wert, symbolisch

gesprochen für F von Null. Das macht keinen Sinn, wenn Sie sozusagen an unsere Schrittweiten denken,

die die H dann konkret darstellen. Also was wir eigentlich haben wollen ist ja eben der

Liemes für H gegen Null. Wenn wir jetzt aber eben eine Fehlerentwicklung haben in diesem Sinne hier,

wobei hier nur zwei Terme explizit gegeben sind, ein konstanter Term plus ein Term der Ordnung H hoch

P und wenn wir nur wissen, dass alles weitere dann in der Ordnung H hoch R liegt. Also die

Entwicklungsinformation steckt in diesem Term drin. Sie sagt eben aus, die weiteren Fehlerterme sind

sozusagen wohl separiert von diesem führenden Fehlerterm hier. Dann kann man diese Aussage ausnutzen,

ohne dass man die Zahlen Alpha Null und Alpha Eins kennt. Alpha Null ist klar, das kennt man eben nicht,